cat nas_B >/dev/null

はせべさんからリクエストがあったので、前回挙げたレーティングの計算方法 を説明する。ただし、このレーティング計算方法は最終案とは限らず、変更さ れる可能性がある。

レーティング

まず、レーティングの定義だが、チームAとチームBのレーティングがそれぞれ Ra, Rbのとき、チームAの勝率を次の式で決める。これは、多くのレーティン グシステムで採用されている一般的な式だ(ロジスティック関数と呼ばれる)。 例えば、Bの方がAより400点高ければ勝率は1/11、Bの方がAより400点低ければ 勝率は10/11となる。試合を行って、AがBに3戦2勝したら、Rb-Raは-120 とす るのが妥当だろう。(上の式に当てはめてみると、P(A,B)=0.666になる)

さて、実際に試合を行うと、チームAはチームBに勝ち越し、チームBはチームC に勝ち越し、しかし、チームCはチームAに勝ち越すという三つ巴の結果になる ことはよくある。この現象をどう考えればいいだろうか？

ここで注意する点は、レーティングが高い方が必ず勝つわけではないとい うことだ。あくまでもレーティングが高い方が勝率が高いと言っているだけな ので、レーティングが1000点高くても負ける時は負ける。天気予報で降水確率 が10%だろうと運が悪ければ雨は降るのと同じだ。だから、先のようにレーティ ングの高低に関わらず三つ巴の結果が出ることは十分ありえる。ならば、正し いレーティングを求めるということは、実際の試合結果と、レーティングから 求めた勝率ができるだけ一致するような値を見つける、ということになるだろう。

このような問題の場合によく使われる手は、実際に起こった結果が最も高い確 率で発生するようなパラメータが正しいと推定する方法だ。これは最尤法 と呼ばれる。これを用いると、 試合結果から最ももっともらしい各チームのレーティング値を決定することが できる。 最尤法の具体的な計算法はさすがに複雑になるので、 ここでは述べない。

計算の都合上、手を加えているところが一点。全勝の場合と全敗の場合は、 この方法ではレーティングが無限大と無限小に漸近してしまうため、全勝の場 合は対戦したうちで最高レーティングの相手と1引き分け、全敗の場合は最低 レーティングの相手と1引き分けを番兵として仮に加えて発散を防いでいる。 これにより、例えば、全勝しかつ最高レーティングの敵に2勝した場合はその 敵＋約300点に留まる。

以上を大雑把に言えば、すべての勝敗に対して最も「もっともらしい」確率が 得られるように、レーティングを決めるということだ。

参考リンク

• ELO Rating System - 広く使用されている古典的なレーティングシステム
• TrueSkill - X-BOX360のオンラインゲームで使用されている改良されたレーティングシステム。ベイズ推定を使用し、真のスキル値への到達が早い
• Pairwise Comparison - 一対比較法

タイプ別レーティング

次に、対タイプ別レーティングの求め方を説明する。まず最初に総合レーティ ング(上で求めたレーティング)を決める。そして、あるチームAの対車両レー ティングRwaを求めるときには、車両3機編成のチームだけを抜き出し、そこに チームAを加えてやはり最尤法でRwaを求める。ただし、このときは車両のレー ティングは予め求められた総合レーティングに固定したまま変化させない。

大雑把に言えば、対車両レーティングは、車両チームだけの総合レーティング に対するレーティングである。

基準に総合レーティングを用いるので、車両の集団の順位が総じて高ければ、 対車両レーティングは高くなるし、逆に車両の集団の順位が低ければ、 対車両レーティングは低くなる。

また、タイプ別にしたことで試合数が減ってしまうので、レーティングを決め るのに十分な試合数が揃わない場合がある。対戦相手が1チーム以下の場合や3 試合以下の場合はタイプ別レーティングは「算出できず」としている。 (この基準は経験的に決めた)